Se dice que el conjunto A, junto con la operación * es un semigrupo y se representa por (A, *), si y sólo si la ley * es asociativa, esto es

(a*b)*c = a*(b*c) para cualesquiera a, b, c E A.

   Si además, aunque no es necesario, dicha ley es conmutativa, entonces el semigrupo se llama conmutativo.

    Si dicha ley tiene elemento neutro en A, se dice que el semigrupo tiene unidad.

   Ejemplo:


   En el conjunto N de los números naturales se define la operación *,
mediante

a*b = a+b+2 para cualesquiera a, b E N.

   Determinar si N posee estructura de semigrupo con respecto a esta operación.

   SOLUCIÓN:


   Para que el conjunto N tenga estructura de semigrupo con respecto a la operación *, debe verificarse la propiedad asociativa, esto es


                         (a*b)*c = (a*b)+c+2
                                     = (a+b+2)+c+2
                                     = a+b+c+4              (1)

                         a*(b*c) = a+(b*c)+2
                                     = a+(b+c+2)+2
                                     = a+b+c+4              (2)

    De (1) y (2) resulta (a*b)*c = a*(b*c) y es asociativa respecto de *.

    Entonces N posee estructura de semigrupo respecto de *.

    Además, se verifica la propiedad conmutativa, pues

a*b = a+b+2 = b+a+2 = b*a