Grupo

Las posibles manipulaciones del Cubo de Rubik forman un grupo.

En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas.

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una tras la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los grupos de Lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos de matrices, por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente en torno a 1870. La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí. Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica ha desarrollado para grupos finitos, que culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983. Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la teoría de grupos.

Definición e ilustración

Primer ejemplo: números enteros

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los números enteros «Z» que consiste en los números:

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Las propiedades de la adición de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo abstractos que se dan en la definición más abajo.

Para cualquier par de enteros a y b, la suma a + b es también un entero. En otras palabras, el proceso de adición de dos enteros a la vez nunca puede producir un resultado que no sea un entero. Esta propiedad se conoce como clausura respecto la adición.
Para todos los enteros a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c). Expresado en palabras, sumando primero a y b, y entonces sumando el resultado con c da el mismo resultado final que sumando a junto con el resultado de sumar b y c, esta propiedad se conoce como propiedad asociativa.
Si es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0 = a. Del cero se deduce el elemento identidad de la adición puesto que al sumarse a cualquier entero da el mismo entero.
Para cada entero a, hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se denomina elemento inverso del entero a y se expresa como -a.

Los enteros, junto con la operación «+», forman un objeto matemático que pertenece a una clase basta en la que hay otros objetos que comparten aspectos estructurales similares. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto por separado, se desarrolla la definición abstracta siguiente que incluye el ejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cuales es el grupo de simetría detallado más abajo.

Definición

Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria «•» que combina dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado en a • b o ab. El símbolo «•» es un elemento general para representar una operación concretamente dada cualquiera, como la adición especificada más arriba. Para poder calificar como un grupo, el conjunto y la operación (G, •), deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo:

Clausura.

Para todo a, b de G, el resultado de la operación a • b también pertenece a G.

Propiedad asociativa.

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento identidad.

Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la ecuación e • a = a • e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a menudo como 1 o 1_G, una notación heredado de la identidad multiplicativa.

Elemento inverso.

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.

El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación

a • b = b • a

puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple en el grupo de enteros con la adición, para que a + b = b + a para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, este grupo de simetría no siempre se cumple como se especificará más abajo. Los grupos para los cuales la ecuación a • b = b • a se cumple siempre se denominan abelianos (en honor a Niels Abel). Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano, pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como D₄. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como id.

Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con r₁, r₂ y r₃, respectivamente.

Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f_v y f_h), o respecto de las dos diagonales (f_d y f_c).

Notación

Es frecuente utilizar a la hora de definir grupos dos notaciones:

La notación multiplicativa.
- Operación: *, llamada producto. También escrita como " $cdot$ "
- Elemento neutro: 1.
- Elemento inverso: $x^{-1}$ .
- Como en la multiplicación normal, el signo $cdot$ puede en muchas ocasiones no ser escrito, es decir $acdot b = ab$ .

La notación aditiva.
- Operación: +, llamada suma.
- Elemento neutro: 0.
- Elemento opuesto de un elemento x del grupo: -x.

Históricamente la terminología multiplicativa precedió a la aditiva. La operación de grupo no es necesariamente una adición o una multiplicación en el sentido que nos resulta familiar en la aritmética elemental. Por ejemplo, una operación de grupo puede ser una sustitución o una rotación. Cualquier conjunto de elementos y una operación que a dos elementos asocie una tercera en el conjunto, puede ser un grupo si cumple con las condiciones o propiedades de grupo pedidas. Sus elementos no son siempre números en el sentido ordinario de la aritmética elemental. Asimismo en algunos casos puede ser más cómodo utilizar alguna de las dos notaciones y en otros resulta indiferente. Es posible que se utilicen indistintamente, siempre y cuando esto no mueva a confusión. Cuando se trata de las operaciones familiares de suma y multiplicación, es impropio usar una notación opuesta a la operación.

Tipos de grupos

Grupo abeliano (o conmutativo). Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir $a cdot b = b cdot a forall a,b in G$
- Grupo abeliano con torsión Definición de torsión: Diremos que un elemento $a in A$ posee torsión o, que es de torsión, si para algún $n in mathbb {N}, a^n = 1$ . Si a es de torsión, entonces el menor número natural n con la propiedad $a^n = 1$ , coincide con el orden de a. Definición de grupo abeliano con torsión: Un grupo abeliano A se dice con torsión si es igual a 0 o si posee elementos no nulos de torsión.
- Grupo abeliano de torsión. Un grupo abeliano A se dice de torsión si todo elemento de A es de torsión.

Grupo finito. Es un grupo con un número finito de elementos.

Grupo de Lie. Es un grupo que además tiene estructura de variedad diferenciable.

Grupo cíclico. Es un grupo conmutativo, finito o infinito, que puede ser generado por multiplicación reiterada de un sólo elemento.

Grupo libre.

Grupos de Klein.

Ejemplos

La suma define estructura de grupo conmutativo en el conjunto de los números enteros ( $mathbb{Z}$ ), en el de los números racionales ( $mathbb{Q}$ ), en los números reales ( $mathbb{R}$ ) y en los números complejos ( $mathbb{C}$ ). Los vectores libres del espacio, con la suma de vectores, forman un grupo conmutativo. La suma de matrices define una estructura de grupo conmutativo en las matrices con coeficientes reales (digamos) con un número de columnas y filas prefijado. Las funciones reales de variable real, con la suma de funciones, también forman un grupo conmutativo, al igual que las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones.

El producto define estructura de grupo conmutativo en los números racionales no nulos, los números reales positivos, los números complejos de módulo 1, etc.

Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales y determinante distinto de cero forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad:

El grupo de los movimientos del espacio o grupo de isometría del espacio euclídeo, el grupo de las semejanzas del plano o el grupo de las afinidades de una recta (las aplicaciones de la forma x-->ax+b con a distinto de cero).

El grupo de Galileo, formado por las transformaciones del espacio y el tiempo que conservan los sistemas de referencia inerciales).

El grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad, etc.

El grupo de Poincaré de la teoría de campos cuánticos y clásicos, etc.

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas superficies o variedades de dimensión mayor.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en Física como en Matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, sólo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que ésta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en Física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. De hecho, aunque aún no conozcamos las teorías físicas por venir, la clasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la lista de los posibles grupos de simetrías infinitesimales.

Curiosidades

Un grupo puede tener infinitos elementos, (como Z con la suma, o los números reales no nulos con el producto) o por el contrario tener un número finito de éstos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los números 0, 1, ..., n - 1) forman un grupo, donde la suma a + b es precisamente el resto al dividir la suma ordinaria por n. Este grupo se denota con Z/nZ y se suele llamar grupo de enteros módulo n. Así, el grupo Z/12Z es el que usamos para calcular con las horas de un reloj, y Z/24Z si queremos distinguir las horas de la mañana de la tarde.

Además, en Z/nZ el conjunto de los números primos relativos con n (denotado (Z/nZ)*) forma un grupo cuando la operación ab es el resto al dividir por n el producto usual. Sin embargo, se puede definir un grupo para otros números aunque no sean primos. Por ejemplo, el grupo (Z/12Z)* el cual sólo tiene 4 elementos. ¿Por qué sólo 4 elementos? Porque puesto que para ser un grupo, cada elemento ha de tener un inverso. Si tomamos algún número que tenga algún factor común con 12, por ejemplo el 10, éste no puede ser multiplicado por otro número de forma que el resto de la división entre 12 sea 1. Es decir, 10 no tendría inverso. Así, sólo son elementos del grupo (Z/12Z) aquellos números coprimos con 12. Si n hubiese sido primo, todos los menores que él serían coprimos con él, excepto el cero, luego su grupo tendría n - 1 elementos.

Se dice que un grupo es cíclico si verifica estar generado por un solo elemento; es decir, supongamos que un conjunto A es grupo con respecto a una operación *. Si existe un elemento g en A tal que cualquier otro elemento de A se obtiene operando g o su inverso g^-1 reiteradamente:

$A={ ..., g^{-r}, ..., g^{-1}, g^0=1, g^1=g, g^2, ..., g^r, ...}={g^r|rinmathbb{Z}},$

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es un generador de A, lo cual se denota por A=<g>.

La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitos son isomorfos a Z/nZ, y los infinitos con Z.