Grupo abeliano

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " $circ$ ". Se dice que la estructura $( A, circ )$ es un Grupo abeliano con respecto a la operación $circ$ si:

$( A, circ )$ tiene estructura algebraica Grupo
$( A, circ )$ tiene la Propiedad conmutativa

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).

Notación

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.

Notación

Operación

Elemento neutro

Potencias

Elementos inversos

Suma directa / producto directo

Adición

a + b

−a

G ⊕ H

Multiplicación

a*b o ab

e o 1

aⁿ

a⁻¹ o 1/a

G × H

La notación multiplicativa no es otra que la notación usual para los grupos, mientras que la aditiva es la notación usual para módulos. Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, usualmente se usa la notación aditiva.

Ejemplos

Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = a^m y y = aⁿ para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, el grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Z_n.

Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.

Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, y por lo tanto, para todo subgrupo hay un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumas directas de grupos abelianos son también abelianos.

Propiedades

Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x + ... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.

Si f, g : G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.